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Análisis Matemático 66
2024
GUTIERREZ (ÚNICA)
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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)
6. Calcule el siguiente límite \[ \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{3 n}{n+1}+(-1)^{n} \frac{n^{5}+\cos n}{2-n^{6}}\right) \]
Respuesta
Para calcular este límite
Reportar problema
$\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{3 n}{n+1}+(-1)^{n} \frac{n^{5}+\cos n}{2-n^{6}}\right)$
vamos a dividir el problema en dos partes. Vamos a ver primero a dónde tiende el primer sumando, en un cálculo auxiliar 1, y después la segunda parte en un cálculo auxiliar 2.
Cálculo auxiliar 1
$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{3 n}{n+1} $
Estamos frente a una indeterminación de tipo "infinito sobre infinito", pero se trata de un cociente de polinomios, donde ambos tienen el mismo grado (😉)... Te das cuenta "a ojo" que eso tiende a $3$, no? Bueno, ahora justifiquémoslo sacando factor común el que manda:
$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{3n}{n(1+\frac{1}{n})} = \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{3}{1+\frac{1}{n}} = 3$
Cálculo auxiliar 2
$\lim _{n \rightarrow \infty} (-1)^{n} \cdot \frac{n^{5}+\cos n}{2-n^{6}} $
Veamos que tenemos una sucesión que está acotada $(-1)^n$ multiplicando a otra... qué lindo sería que tienda a cero, pues ✨cero por acotada, cero ✨ Veamos...
$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{n^{5}+\cos n}{2-n^{6}} $
Es una indeterminación infinito sobre infinito, sacamos factor común el que manda arriba y abajo:
$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{n^5 (1+\frac{\cos n}{n^5})}{n^6(\frac{2}{n^6}-1)}$
Simplificamos, y además fijate que $\frac{\cos(n)}{n^5}$ tiende a $0$, por cero x acotada, entonces...
$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{(1+\frac{\cos n}{n^5})}{n(\frac{2}{n^6}-1)} = 0$
Por lo tanto,
$\lim _{n \rightarrow \infty} (-1)^n \cdot \frac{n^{5}+\cos n}{2-n^{6}} = 0$
Y entonces el límite original nos da...
$\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{3 n}{n+1}+(-1)^{n} \frac{n^{5}+\cos n}{2-n^{6}}\right) = 3 + 0 = 3$
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