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Análisis Matemático 66

2025 GUTIERREZ (ÚNICA)

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)

Práctica 3: Sucesiones

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6. Calcule el siguiente límite lim⁡n→∞(3nn+1+(−1)nn5+cos⁡n2−n6) \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{3 n}{n+1}+(-1)^{n} \frac{n^{5}+\cos n}{2-n^{6}}\right)

Respuesta

Para calcular este límite

lim⁡n→∞(3nn+1+(−1)nn5+cos⁡n2−n6)\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{3 n}{n+1}+(-1)^{n} \frac{n^{5}+\cos n}{2-n^{6}}\right)

vamos a dividir el problema en dos partes. Vamos a ver primero a dónde tiende el primer sumando, en un cálculo auxiliar 1, y después la segunda parte en un cálculo auxiliar 2.

Cálculo auxiliar 1

lim⁡n→∞ 3nn+1\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{3 n}{n+1}

Estamos frente a una indeterminación de tipo "infinito sobre infinito", pero se trata de un cociente de polinomios, donde ambos tienen el mismo grado (😉)... Te das cuenta "a ojo" que eso tiende a 33, no? Bueno, ahora justifiquémoslo sacando factor común el que manda:

lim⁡n→∞3nn(1+1n)=lim⁡n→∞31+1n=3\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{3n}{n(1+\frac{1}{n})} = \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{3}{1+\frac{1}{n}} = 3

Cálculo auxiliar 2

lim⁡n→∞(−1)n⋅n5+cos⁡n2−n6\lim _{n \rightarrow \infty} (-1)^{n} \cdot \frac{n^{5}+\cos n}{2-n^{6}}

Veamos que tenemos una sucesión que está acotada (−1)n(-1)^n multiplicando a otra... qué lindo sería que tienda a cero, pues  ✨cero por acotada, cero ✨ Veamos...

lim⁡n→∞n5+cos⁡n2−n6\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{n^{5}+\cos n}{2-n^{6}}

Es una indeterminación infinito sobre infinito, sacamos factor común el que manda arriba y abajo:

lim⁡n→∞n5(1+cos⁡nn5)n6(2n6−1)\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{n^5 (1+\frac{\cos n}{n^5})}{n^6(\frac{2}{n^6}-1)}

Simplificamos, y además fijate que cos⁡(n)n5\frac{\cos(n)}{n^5} tiende a 00, por cero x acotada, entonces...

lim⁡n→∞(1+cos⁡nn5)n(2n6−1)=0\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{(1+\frac{\cos n}{n^5})}{n(\frac{2}{n^6}-1)} = 0

Por lo tanto, 

lim⁡n→∞(−1)n⋅n5+cos⁡n2−n6=0\lim _{n \rightarrow \infty} (-1)^n \cdot \frac{n^{5}+\cos n}{2-n^{6}} = 0

Y entonces el límite original nos da...

lim⁡n→∞(3nn+1+(−1)nn5+cos⁡n2−n6)=3+0=3\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{3 n}{n+1}+(-1)^{n} \frac{n^{5}+\cos n}{2-n^{6}}\right) = 3 + 0 = 3
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GARCÍA
11 de abril 21:20
No daria 3? 
0 Responder
Flor
PROFE
11 de abril 21:27
@GARCÍA Jajaja si 😂 Claramente fue un error de tipeo al final, gracias Aldi por avisarme! Mañana lo editooo! 
0 Responder